通信原理学习——匹配滤波器

出现的原因：

在数字通信系统中，如何从含有加性噪音的接收信号x（t）中准确判断出是否已经接收到s（t），是一个基本问题。换句话说，通信系统的质量取决于接收系统的性能。
从接收系统的角度来看，这涉及到最佳接收或信号接收最佳化问题。
“最好”或“最佳”不是绝对的，而是在某个约束条件下的一个相对概念。在数字通信系统中，常用的最佳准则是最大输出SNR和差错概率最小准则。

因此，一种LTI滤波器，即匹配滤波器出现来帮助我们处理x（t），希望处理后的输出信号y (t)最有利于判断s (t)收到与否。它能够从噪声当中将信号提取起来，并在 $t=t_0$ 时刻提供最佳判断依据，因为此时信号最大限度地超过了背景噪声。

原理：

匹配滤波器：在加性白噪声背景下，对某一具体信号能获得最大输出信噪比的线性滤波器。
基本流程如下：匹配滤波器主要包括三步：滤波——抽样——判决
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抽样判决器输出数据正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关，而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比，即信噪比。
信噪比越大，错误判决概率（Pe或者Pb来衡量）就越小；
信噪比越小，错误判决概率（Pe或者Pb来衡量）就越大。

为了使误码率Pe尽可能小，就要选择滤波器传输特性使滤波器输出SNR尽可能大的滤波器。当选择的滤波器传输特性使输出SNR达到最大值时，该滤波器就称为输出SNR最大的最佳线性滤波器。

那什么样的滤波器的传输特性能够使SNR达到最大值呢？
匹配滤波器的单位冲激响应为 $h(t)=cs(t_0-t)$ ,
式中， $c$ 与 $t_0$ 为任意非零常数。在 $r(t)=s(t)+n(t)$ 输入下， $h(t)$ 使使输出信噪比在 $t_0$ 时刻最大的滤波器。
下图是s(t)和h(t)的图像对比：
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对于因果系统，匹配滤波器的单位冲激响应，h(t)应满足下列式子:
$h(t) = \begin{cases} cs(t_0-t), t\geq0\\ \\ 0, t<0\\ \end{cases}$

要满足上式条件，必须有： $s(t_0-t), t<0$ 成立，即 $s(t)=0,t>t_0$
若输入信号在 $T$ 时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器，其输出最大信噪比时刻 $t_0$ 必须在输入信号结束之后，即 $t_0 \geq T$ 。对于接收机来说， $t_0$ 是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取 $t_0=T$

若输入为s(t)，则匹配滤波器的输出信号为：
$s_0(t)=s(t)*h(t)=cR(t-t_0)$

其中， R(t)为输入信号s(t)的自相关函数。这表明：
1.匹配滤波器输出=输入信号的自相关函数的c倍。通常取c=1。
2.其在t0时刻得到最大输出信噪比:
$r_{omax}=\frac{2E}{n_0}$

说明

对前文中给出的匹配滤波器的定义（在加性白噪声背景下，对某一具体信号能获得最大输出信噪比的线性滤波器）作出下列说明：
1、背景是白噪声，输出信噪比是其输出端信号瞬时（不是“平均”）功率与噪声平均功率之比。
2、滤波器限于线性：可以是放大器、混频器、相干乘积型检波器等，不能表述限幅器、包络检波器等
3、最大信噪比可等价于最小错误概率。
4、要求输入信号是时限信号(0，T)。物理意义：匹配滤波器的输出信噪比与输入信号能量成正比；若输入信号尚未结束，就无从得到输入信号的全部能量；另一方面，一旦输入信号结束，全部能量皆被利用，从而输出信噪比达到最大。常常取 $t_0=T$
5、匹配滤波器是一个线性滤波器，但是它并不保持输入信号的形状。相反，它会使输入信号波形失真，以此来获得最大输出信噪比。
6、匹配滤波器频率特性正比于输入信号频谱的共轭（除固定延迟 $t_0$ 外）